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树状数组之区间最值

原理

数学原理：

建立树状数组

利用上面的性质，在树状数组的尾部插入数据，来建立一个树状数组

void push(int pos){
        int i,lb = lowbit(pos);     c[pos] = a[pos];     for(i=1;i
   
    <<=1){
            c[pos] = max(c[pos],c[pos-i]);      }}
   

树的维护

void update(int pos,int v){
        int i,lb;     c[pos] = a[pos] = v;     lb = lowbit(pos);     for(i=1;i
   
    <<=1){
    //利用孩子更新自己         c[pos] = c[pos] > c[pos-i] ? c[pos] : c[pos-i];     }     int pre = c[pos];     pos+=lowbit(pos);//父亲的位置    /* 更新父亲 */     while(pos <= n){
           if( c[pos] < pre){
    //更新的父亲             c[pos] = pre;             pos +=lowbit(pos);         } //没有更新父亲         else break;      }  }
   

查询最值

   设 query(x,y)query(x,y) 求区间 [x,y] 之间的最值， 已知 c[x] 表示 [x−lowbit(x)+1,x] 之间的最值，那如何求区间 [x,y] 的最值呢？

我们不难发现:

• 如果求区间 [1,8] 的最值，就需要点 c[8]
• 如果求区间 [1,7] 的最值，就需要点 c[7],c[6],c[4]
• 如果求区间 [2,7] 的最值，就需要点 c[7],c[6],a[4],c[3],a[2]
• 如果求区间 [2,2] 的最值，就需要点 a[2]如果求区间 [2,8] 的最值，就需要点 a[8],c[7],c[6],a[4],c[3],a[2]

所以，我们发现下面的规律，因为 y−lowbit(y)+1y−lowbit(y)+1 表示 c[y]c[y] 结点所管辖范围的最左边的点若

• y−lowbit(y)+1>=xy−lowbit(y)+1>=x, 则query(x,y)=max(c[y],query(x,y−lowbit(y)))query(x,y)=max(c[y],query(x,y−lowbit(y)));
• 若 y−lowbit(y)+1<xy−lowbit(y)+1<x, 则 query(x,y)=max(a[y],query(x,y−1))query(x,y)=max(a[y],query(x,y−1));
• 边界 x>y

int query(int x,int y){
       int res = -1;     while(x <= y){
            int nx = y - lowbit(y)+1; //最左边的点         if(nx >= x ){
                res = res < c[y] ? c[y] :res; //判断是否最优            y = nx-1; // 下一个求解区间         } else {
    // nx < x             res = res < a[y] ? a[y] :res; //判断是否最优            y--;        }     }     return res;}

总结

特点：

• 每一次在尾部添加一个数值，时间为 log(n)
• 可以保留原数组的相对应位置不变
• 如果不进行单点修改，速度会更快

   所以，树状数组求区间最值特别适合那些：一边在尾部添加数据，一边查询的题目

核心代码

const int maxn = 1e6 + 5, maxe = 1e6 + 5; //点与边的数量int n, m;int N = maxn;int a[maxn], c[maxn]; // a是原数组inline int lowbit(int x) {
    return x & -x; }inline int fa(int p) {
    return p + lowbit(p); }inline int left(int p) {
    return p - lowbit(p); }inline int g(int a, int b) {
    return a>b ? a : b; }void update_by_child(int p, int v) {
    //alias push    c[p] = a[p] = v;    int lb = lowbit(p);    for (int i = 1; i < lb; i <<= 1)        c[p] = g(c[p], c[p - i]);}void update(int p, int v) {
       update_by_child(p, v);    int t = c[p];    for (p = fa(p); p <= N; p = fa(p)) {
       if (g(t, c[p])) c[p] = t;       else break;    }}int query(int l, int r) {
    // 求区间最值    int ret = a[l];    for (; l <= r; ) {
          int next = left(r) + 1;       if (next >= l) ret = g(ret, c[r]), r = next - 1;       else            ret = g(ret, a[r]), r--;    }    return ret;}

例题

hdu[1754] I Hate It

思路： 利用树状数组求区间最值

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 1e6 + 5, maxe = 1e6 + 5; //点与边的数量int n, m;int N = maxn;int a[maxn], c[maxn]; // a是原数组inline int lowbit(int x) {
    return x & -x; }inline int fa(int p) {
    return p + lowbit(p); }inline int left(int p) {
    return p - lowbit(p); }inline int g(int a, int b) {
    return a>b ? a : b; }void update_by_child(int p, int v) {
    //alias push    c[p] = a[p] = v;    int lb = lowbit(p);    for (int i = 1; i < lb; i <<= 1)        c[p] = g(c[p], c[p - i]);}void update(int p, int v) {
       update_by_child(p, v);    int t = c[p];    for (p = fa(p); p <= N; p = fa(p)) {
       if (g(t, c[p])) c[p] = t;       else break;    }}int query(int l, int r) {
    // 求区间最值    int ret = a[l];    for (; l <= r; ) {
          int next = left(r) + 1;       if (next >= l) ret = g(ret, c[r]), r = next - 1;       else            ret = g(ret, a[r]), r--;    }    return ret;}int main() {
       while (1) {
           memset(a, 0, sizeof(a));        memset(c, 0, sizeof(c));        if (scanf("%d%d", &n, &m) == EOF) break;        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
               int t;            scanf("%d", &t);            update_by_child(i, t); //初始化原数组与树状数组        }        char s[10];        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
               scanf("%s", s);            int x, y;            if (s[0] == 'Q') {
                   scanf("%d%d", &x, &y);                ll ans = query(x, y);                printf("%lld\n", ans);            }            else {
                   scanf("%d%d", &x, &y);                update(x, y);            }        }    }    return 0;}
      
     
    
   

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